Soal dan Pembahasan Fungsi Gamma

Pada kesempatan kali ini calonpendidik akan berbagi kepada kawan-kawan dengan membahas soal dan pembahasan fungsi gamma.

Pembahasan soal

Diketahui : 1. $\frac{dN}{N}=4\pi \left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{m^{2}}{2kT}}v^{2} dv......(1)$

2. $\left \langle v^{n} \right \rangle=\frac{1}{N}\int v^{n}dN...(2)$

Ditanyakan: Buktikan Bahwa: $\left \langle v^{n} \right \rangle=\left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{n}{2}}\frac{\left ( \frac{n+1}{2} \right )!}{\left ( \frac{1}{2} \right )!}$

Penyelesaian:

Persamaan 1 dapat diubah bentuknya menjadi

$dN=N4\pi\left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}}v^{2}dv...(3)$

Subtitusi persamaan 3 ke persamaan 2

$\left \langle v^{n} \right \rangle=\frac{1}{N}\int v^{n}N4\pi\left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}}v^{2}dv...(4)$

Pisahkan semua suku yang tidak mengandung variabel v dari

integaral $\left \langle v^{n} \right \rangle=\frac{N}{N}4\pi\left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{3}{2}}\int v^{n}v^{2}e^{\left ( -\frac{mv^{2}}{2kT} \right )}dv...(5)$

Misalkan $y=\frac{mv^{2}}{2\pi kT};dy=\frac{2mv}{2kT}dv;dv=\frac{kT}{mv}dy$

Subtitusikan persamaan 5 menjadi

$\left \langle v^{n} \right \rangle=\frac{N}{N}4\pi\left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{3}{2}}\int v^{n}v^{2}e^{-y}\frac{kT}{mv}dy...(6)$

Sederhanakan persamaan 6 dan subtitusikan persamaan y= mv^2/2kT ke dalam v=(2kTy/m)^1/2 sehingga persamaan 6 menjadi

$\left \langle v^{n} \right \rangle=4\pi\left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{3}{2}}\int v^{n}ve^{-y}\frac{kT}{m}dy$

$\left \langle v^{n} \right \rangle=4\pi\left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{3}{2}}\frac{kT}{m}\int v^{n+1}e^{-y}dy$

$\left \langle v^{n} \right \rangle=4\pi\left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{3}{2}}\frac{kT}{m}\int \left ( \left ( \frac{2kTy}{m} \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{n+1}e^{-y}dy...(7))$

Persamaan 7 dapat disederhanakan dengan mengeluarkan semua variabel yang tidak mengandung unsur “y”. maka persamaan 7 berubah menjadi

$\left \langle v^{n} \right \rangle=4\pi\left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{3}{2}}\frac{kT}{m}\int \left ( \left ( \frac{2kTy}{m} \right )^{\frac{1}{2}}\left ( y \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{n+1}e^{-y}dy$

$\left \langle v^{n} \right \rangle=4\pi\left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{3}{2}}\frac{kT}{m}\int \left ( \left ( \frac{2kTy}{m} \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{n+1}\left ( \left ( y \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{n+1}e^{-y}dy$

$\left \langle v^{n} \right \rangle=4\pi\left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{3}{2}}\frac{kT}{m} \left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{n}{2}}\left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{1}{2}}\int \left ( \left ( y \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{n+1}e^{-y}dy$

$\left \langle v^{n} \right \rangle=4\pi\left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{3}{2}}\frac{kT}{m} \left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{n}{2}}\left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{1}{2}}\int \left ( y \right )^{\frac{n}{2}}\left ( y \right )^{\frac{1}{2}}e^{-y}dy$

$\left \langle v^{n} \right \rangle=4\pi \frac{m}{2\pi kT}\left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{1}{2}}\frac{kT}{m} \left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{n}{2}}\left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{1}{2}}\int \left ( y \right )^{\frac{n+1}{2}}e^{-y}dy$

$\left \langle v^{n} \right \rangle=2 \left ( \frac{m}{2\pi kT} \right )^{\frac{1}{2}} \left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{n}{2}}\left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{1}{2}}\int \left ( y \right )^{\frac{n+1}{2}}e^{-y}dy$

$\left \langle v^{n} \right \rangle=\frac {2}{\sqrt{\pi}} \left ( \frac{m}{2 kT} \right )^{\frac{1}{2}} \left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{n}{2}}\left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{1}{2}}\int \left ( y \right )^{\frac{n+1}{2}}e^{-y}dy$

$\left \langle v^{n} \right \rangle=\frac {2}{\sqrt{\pi}}\left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{n}{2}}\int \left ( y \right )^{\frac{n+1}{2}}e^{-y}dy....(8)$

Ingat bahwa bentuk integral (y)^(n+1)/2 .e^-y dy memenuhi definisi fungsi gamma, dimana Gamma (x)= integral y pangkat x-1 e pangkat -ydy, sehingga jika x-1= (n+1)/2, maka x=n+1/2=n+1+2/2=n+3/2. Definisi untuk fungsi gammayang memiliki bentuk pecahan positif adalah gamma(x)=(x-1)!. sehingga Gamma(n+3/2)=((n+3)/2)-1)! =(n+1/2)!

Maka dari itu, persamaan 8 bisa ditulis menjadi

$\left \langle v^{n} \right \rangle=\frac {2}{\sqrt{\pi}}\left ( \frac{2kT}{m} \right )^{\frac{n}{2}}\left ( \frac{n+1}{2} \right )!...(9)$