Resume Paper Aplikasi Fungsi Bessel Untuk Solusi Masalah Sistem Koordinat Silinder Calon Pendidik

Daftar Isi

RESUME

“The Application of Bessel Function in the Definite Solution Problem of Cylindrical Coordinate System”

Abstrak

Metode separasi variabel yang digunakan untuk solusi penyelesaian masalah khususnya daerah silinder dan bola merupakan metode yang penting. Tetapi, prosedur penyelesaiannya sangat sulit dalam aplikasi praktis. Penulis mengusulkan metode yang menggabungkan fungsi Bessel untuk menyelesaikan solusi masalah pada system koordinat silinder dan memberikan algoritma pemecahan masalah yang tepat. Kelebihan algoritmanya yaitu, 1) definisi dan property fungsi Bessel diingat kembali secara singkat., 2) memberikan proses dasar pemecahan masalah homogen dengan mempertimbangkan solusi masalah gelombang, konduksi panas, dan persamaan Laplace,. Algoritma tersebut berasal dari kesimpulan yang di dapatkan dengan menganalisis solusi persamaan Bessel pada tiga jenis konsisi batas.

Introduction (Pengenalan)

Pada bagian introduction, penulis memaparkan definisi fungsi Bessel yang merupakan salah satu fungsi yang signifikan dalam ilmu atmosfer, mekanik, matematika, dan disiplin ilmu lainnya. Fungsi Bessel diproleh jika persamaan Helmholtz dan persamaan Laplace diselesaikan dengan separasi variable dalam silinder atau koordinat bola. Ada beberapa batasan yang digunakan untuk memecahkan masalah dengan tepat. Karena itu, fungsi Bessel telah menarik banyak perhatian. Solusi dari masalah itu biasanya perlu dilakukan dengan mengubahnya menjadi persamaan diferensial parsial dengan koefisiem variabel dalam sistem koordinat silinder atau bola, kemudian selesaikan dengan menggunakan fungsi khusus.

Kemudian, penulis memaparkan asal mula fungsi Bessel yang berawal dari temuan sistematis keseluruhan kerangka teori oleh Matematikawan jerman F.W. Bessel pada tahun 1824. Setelah itu, Definisi dan property fungsi Bessel diperkenalkan oleh Rosseti, dan dilanjutkan dengan presentasi metode cepat untuk menghitung Fungsi Bessel oleh Karatsuba. Setelah itu, penulis menyampaikan kembali usulannya yang menyangkut tentang definisi dan property fungsi Bessel, metode penmisahan variable untuk menyelesaikan solusi homogen ringkas, dan Solusi persamaan Bessel dalam tiga macam kondisi batas..

Bessel Function (Fungsi Bessel)

Pada bagian ini, penulis mendefinisikan bahwa fungsi Bessel merupakan fungsi yang paling umum dalam matematika, fisika, dan teknik. Berikut ini merupakan persamaan fungsi Bessel

$x^{2}{y}''+{xy}'+\left ( x^{2}-v^{2} \right )y=0$ ………..(1)

Variabel v pada persamaan di atas adalah konstanta dan disebut juga dengan orde persamaan yang dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks.

Solusi dari persamaan Bessel terbagi menjadi 3 jenis. Jenis fungsi Bessel yang pertama yaitu, dilambangkan dengan . Sehingga persamaannya berbentuk,

$J_{\pm v}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k}}{k!}\frac{1}{\Gamma (\pm v+k+1)}\left ( \frac{x}{2} \right )^{2k\pm v}$ …….(2)

Kemudian, jenis fungsi Bessel yang kedua disebut Fungsi Neumann yang disimbolkan dengan. Sehingga persamaannya berbentuk,

$Y_{v}(x)=\frac{cosv\pi J_{v}(x)-J_{-v}(x)}{Sin v\pi }$ ………(3)

Jenis fungsi Bessel yang ketiga sering disebut fungsi Henkel. Yang disimbolkan dengan disebut fungsi 1 Hankel dan disebut fungsi kedua Hankel. Sehingga bentuk persamaannya,

$H_{v}^{1}(x)=J_{v}(x)+iY_{v}(x) dan H_{v}^{2}(x)=J_{v}(x)-iY_{v}(x)$ ……….(4)

Fungsi Bessel dicirikan oleh banyak properti penting. Sehingga langkah utama memahami fungsi Bessel yaitu dengan menganalisis propertinya.

Fungsi Bessel memiliki hubungan rekrusif

Contoh: penulis menggunakan jenis fungsi Bessel pertama untuk mempelihatkan hubungan rekrusif yang ada pada jenis fungsi lain.

$(xJ_{1}(x))^{'}=xJ_{0}(x), diturunkan..menjadi..\left ( \frac{d}{xdx} \right )^{m}\left [ x^{-v} J_{v} \right ]=(-1)^{m})x^{-v-m}J_{v+m}$ ………(5)

Titik Nol

Akar dari disebut titik nol dari . Sebagaimana memiliki jumlah nol yang tak berhingga di interval [0,∞], yang didistribusikan secara simetris pada sumbu x. Titik nol dari dan didistribusikan satu sama lain. Jika x cukup besar, jarak antara dua angka nol yang berdekatan dari dekat dengan π. Kita tahu bahwa titik nol dari adalah

Maka didapatkan nilai eigen dan fungsi eigen,

$F_{n}(x)=J_{v}(\lambda _nx), n=1,2,....$ ……….(6)

Perluasan Seri Fungsi Bessel

Fungsi Arbitrer memiliki urutan pertama kontinu turunan dan turunan keduanya sedikit demi sedikit kentinue dalam interval [0,A], misalkan , kemudian dijabarkan menjadi

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }C_{n}J_{v}(\frac{x_{n}^{(v)}}A{x})$ ……..(7)

Dimana titik nol is , dan

$C_{n}=\frac{2\int_{0}^{A}xf(x)J_{v}(\frac{x_{n}^{(v)}}A{x})dx}{A^{2}J_{v}(X_{n}^{(v)})},$ ………(8)

Memecahkan Solusi Masalah

Metode pemisahan variable merupakan metode penting untuk memecahkan masalah solusi persamaan diferensial parsial yang secara luas digunakan dalam berbagai solusi. Fungsi Bessel berfungsi mempermudah penyelesaian masalah pada system koordinat silinder.

Variabel Pemisah
Persamaan Laplace

$\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}=0$ ………..(9)

System koordinat silinder dapat dinyatakan,

$\frac{\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}+\frac{\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}=0$ ……….(10)

Jika bentuk separasi variable . Kemudian disubtitusikan ke persamaan 10. kemudian mengalikan kedua ruas dengan sehingga persamaan terbagi menjadi dua, setelah itu, bagi kedua ruas persamaan dengan . Maka diperoleh

$\frac{{R}''}{R}+\frac{1}{r}\frac{{R}'}{R}-\frac{v^{2}}{r^{2}}=-\lambda ^{2},\lambda \neq 0$ ………(11)

Sehingga persamaan aslinya dapat diurai menjadi

$\left\{\begin{matrix} {\Phi }''+v^{2}\Phi =0\\ {Z}''-\lambda ^{2}Z=0\\ {R}''+\frac{1}{r}{R}'+\left ( \lambda ^{2}-\frac{v^{2}}{r^{2}} \right )R=0\\ \end{matrix}\right.$ …….(12)

Persamaan Gelombang Homogen

$\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\left ( \frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2}u}{\partial z^{2}} \right )=0$ ………(13)

Pisahkan variable ruang dan waktu. Sehingga akan terurai menjadi dua persamaan. Kemudian gunakan koordinat silinder untuk mendapatkan variable yang baru. Setelah itu uraikan lagi tiga persamaannya dengan metode yang sama. Sehingga persamaan aslinya terurai menjadi

$\left\{\begin{matrix} {T}''+k^{2}a^{2}T=0\\ {\Phi }''+v^{2}\Phi =0\\ {Z}''-\lambda ^{2}Z=0\\ {R}''+\frac{1}{r}{R}'+\left ( k^{2}-\lambda ^{2}-\frac{v^{2}}{r^{2}} \right )R=0\\ \end{matrix}\right.$ ……….(14)

Persamaan konduksi panas homogen

$\frac{\partial u}{\partial t}-a^{2}\left ( \frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2}u}{\partial z^{2}} \right )=0$ ……….(15)

Pisahkan variable waktu, dan kemudian pisahkan variable ruang dalam koordinat silinder. Pisahkan persamaan asli untuk mendapatkan

Pemecahan masalah nilai eigen

Kondisi Umum

Penulis mempertimbangkan kasus umum

Dalam situasi ω<0 , solusi umum persamaan

Dalam situasi ω=0 , solusi umum persamaan

Dalam situasi ω>0 , solusi umum persamaan

Masalah Nilai Eigen dari persamaan Bessel

Misalkan persamaan x=?r, apabila diolah akan menjadi persamaan Bessel orde v sehingga menghasilkan,

kodisi batas jenis pertama akan menghasilkan persamaan,
kondisi batas jenis kedua akan menghasilkan persmaan

Berdasarkan fungsi Bessel diatas. persamaan dapat ditulis ulang

kemudian

Urutan Solusi Superposisi

berdasarkan proses di atas, solusi formal dapat diperoleh dengan prinsip superposisi

Setelah mengonfirmasi koefisien korelasi berdasarkan kondisi awal dan akhirnya maka solusi permasalahan dapat dipecahkan. Berikut ini adalah algoritmanya,

Algoritma Pemecaahan Masalah
Langkah 1	Tentukan jenis persaman
Langkah 2	Dapatkan persmaan diferensial biasa dengan separasi variabel
Langkah 3	Dapatkan nilai eigen dan fungsi eigen menurut kondisi batas
Langkah 4	Memecahkan urutan solusi yang sesuai
Langkah 5	Superposisikan semua solusi
Langkah 6	Konfirfasikan koefisien korelasi sesuai dengan inisial kondisi

Contoh Numerik

Pada bagian ini penulis menyajikan contoh numerik untuk diilustrasikan pada metode yang telah dipaparkan.. contohnya yaitu getaran bebas axisimetrik pada silinder dengan panjang tak terhingga dengan jari-jari 0,5. Setelah diolah persamaannya maka menghasilkan hasil,

$u\left ( r,t \right )=\frac{16}{a}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{J_{2}\left ( 0.5\lambda _{n} \right )}{\lambda _{n}^{3}J_{1}^{2}\left ( 0.5\lambda _{n} \right )}J_{0}\left ( \lambda _{{n}}r \right )sin\left ( a\lambda _{n}t \right )$ ……….(17)

Kesimpulan

Penulis mengusulkan metode yang menggabungkan fungsi Bessel untuk memecahkan solusi maslah yang homogeny dalam system koordinat silinder. Contoh numeric memvalidasi kelayakan metode. Selain itu, berbentuk system koordinat silinder yang diperkenalkan dalam tulisan ini, fungsi Bessel juga dapat digunakan untuk masalah system koordinat bola

Daftar Pustaka

Wenjie He, Meiling Zhao. The Application of Bessel Function in the Definite Solution Problem of Cylindrical Coordinate System. Applied And Computational Mathematics. Vol.8, No.3, 2019; pp. 58-64. Doi 10.11648/j.acm.20190803. 12

Resume Paper Aplikasi Fungsi Bessel Untuk Solusi Masalah Sistem Koordinat Silinder

RESUME

“The Application of Bessel Function in the Definite Solution Problem of Cylindrical Coordinate System”

Abstrak

Introduction (Pengenalan)

Bessel Function (Fungsi Bessel)

Kesimpulan

Daftar Pustaka

About The Author

Bang Rijal

Calonpendidik.com

Contact Us

Lainnya

RESUME

“The Application of Bessel Function in the Definite Solution Problem of Cylindrical Coordinate System”

Abstrak

Introduction (Pengenalan)

Bessel Function (Fungsi Bessel)

Kesimpulan

Daftar Pustaka

Share your love

About The Author

Bang Rijal

Artikel Terkait

Contact Us

Lainnya